единая точка зрения на различные геометрии (например, евклидову, аффинную, проективную), сформулированная впервые Ф.
Клейном на лекции, прочитанной в 1872 в университете г. Эрланген (Германия) и напечатанной в том же году под названием "Сравнительное обозрение новейших геометрических исследований".
Сущность Э. п. состоит в следующем. Как известно, евклидова геометрия рассматривает те свойства фигур, которые не меняются при движениях; равные фигуры определяются как фигуры, которые можно перевести одну в другую движением. Но вместо движений можно выбрать какую-нибудь иную совокупность геометрических преобразований (См.
Преобразование) и объявить "равными" фигуры, получающиеся одна из другой с помощью преобразований этой совокупности; при этом придём к иной "геометрии", изучающей свойства фигур, не меняющиеся при рассматриваемых преобразованиях. Введённое "равенство" должно удовлетворять следующим трём естественным условиям: 1) каждая фигура
F "равна" сама себе, 2) если фигура
F "равна" фигуре
F' то и
F'
"равна"
F, 3) если фигура
F "равна"
F' а
F' "равна"
F'', то и
F "равна"
F''. Соответственно этому приходится накладывать на совокупность преобразований следующие три требования: 1) в совокупность должно входить тождественное преобразование, оставляющее всякую фигуру на месте, 2) наряду с каждым преобразованием П, переводящим фигуру
F в
F' в совокупность должно входить "обратное" преобразование П
-1 переводящее
F' в
F, 3) вместе с двумя преобразованиями П
1 и П
2, переводящими соответственно
F в
F' и
F' в
F'', в совокупность должно входить произведение П
2П
1 этих преобразований, переводящее
F в
F'' (П
2П
1) состоит в том, что сначала производится П
1, а затем П
2). Требования 1), 2) и 3) означают, что рассматриваемая совокупность является группой преобразований (см.
Непрерывная группа)
. Теория, которая изучает свойства фигур, сохраняющиеся при всех преобразованиях данной группы, называется геометрией этой группы.
Выбирая по-разному группу преобразований, получим разные геометрии. Так, принимая за основу группу движений, мы придём к обычной (евклидовой) геометрии; заменяя движения аффинными преобразованиями (См.
Аффинные преобразования) или проективными преобразованиями (См.
Проективное преобразование)
, придем к аффинной, соответственно, проективной геометрии. Основываясь на идеях А.
Кэли, Клейн показал, что принятие за основу группы проективных преобразований, переводящих в себя некоторый круг (или произвольное коническое сечение), приводит к неевклидовой геометрии Лобачевского (см.
Лобачевского геометрия)
. Клейн ввёл в рассмотрение довольно широкий круг других геометрий, определяемых подобным же образом.
Э. п. не охватывает некоторых важных разделов геометрии, например риманову геометрию (См.
Риманова геометрия)
. Однако Э. п. имела для дальнейшего развития геометрии существенное стимулирующее значение. Важные работы, ставящие своей целью объединить теоретико-групповой и дифференциально-геометрический подход к геометрии, принадлежат Я.
Схоутену и Э.
Картану
.
Лит.: Клейн Ф., Сравнительное обозрение новейших геометрических исследований ("Эрлангенская программа"), в кн.: Об основаниях геометрии. Сборник классических работ по геометрии Лобачевского и развитию ее идей, М., 1956; его же, Элементарная математика с точки зрения высшей, пер. с нем., 2 изд., т. 2, М. - Л., 1934; его же, Высшая геометрия, пер. с нем., М. -- Л., 1939; Александров П. С., Что такое неэвклидова геометрия, М., 1950; Ефимов Н. В., Высшая геометрия, 5 изд., М., 1971.